Prédiction marée

Prédiction de la marée par la méthode harmonique

La marée est un phénomène périodique, dû à l'attraction du Soleil et de la Lune sur la mer. Le niveau de la mer varie avec la marée. Lorsque le niveau de l'eau passe par un minimum, « la marée est basse », « c'est la basse mer ». Lorsque le niveau de l'eau passe par un maximum, « la marée est haute », « c'est la pleine mer »,
On trouvera sur Internet de nombreux articles décrivant le phénomène de la marée, expliquant quelles sont les forces qui entrent en jeu, quels sont les différents types de marée, quel est le vocabulaire employé, etc...
Mais il y a peu d'articles consacrés à la prévision de la marée par la méthode des harmoniques. C'est l'objet des lignes qui suivent.

Formule de base de la marée

Le niveau de l'eau est une onde périodique, qui peut être décomposée en ondes élémentaires, appelées composantes harmoniques de la marée. Chaque composante est une sinusoïde ayant des valeurs propres (vitesse angulaire et phase) et affectée de coefficients qui dépendent du port considéré. La hauteur d'eau h àun instant t est donnée par la formule:

h(t) = Z₀ + Σ_i f_i A_i cos[ ω_i t + (V₀+u )_i – g_i ]

pour i de 1 à n, n étant le nombre d'ondes.
Z₀ est un terme constant, qui représente le niveau moyen. Il est propre à chaque port.
t est le temps compté à partir d'un instant initial pris comme instant de référence.

Chaque onde est caractérisée par:

ω_i la pulsation de l'onde. C'est sa vitesse angulaire généralement exprimée en degrés par heure.
V_oi la phase de l'onde à l'instant initial. C'est un décalage exprimé en degrés.
u_i un facteur de correction de la phase (correction nodale).
f_i un facteur de correction de l'amplitude (correction nodale).
A_i est l'amplitude de l'onde pour le port considéré.
g_i la différence de phase de l'onde pour le port considéré.

L'ensemble des constantes A_i et g_i forme ce que l'on appelle les constantes harmoniques du port. Elles sont propres à chaque port.

Composition des ondes

Les différentes ondes dépendent des positions de la lune et du soleil par rapport à la terre.

La vitesse angulaire des ondes est calculée à partir des données astronomiques qui interviennent dans les formules exprimant les forces génératrices de la marée. La vitesse est une constante pour une onde donnée.

La phase de l'onde à l'instant initial est une combinaison de 5 angles fondamentaux:

T angle horaire du Soleil
s longitude moyenne de la Lune
h longitude moyenne du Soleil
p longitude moyenne du périgée de la Lune
p1 longitude moyenne du périgée du Soleil

Les angles sont affectés d'un coefficient qui dépend de l'onde considérée.
La phase est la somme des angles multipliés par leurs coefficients respectifs. Elle peut être corrigée d'un multiple de 90°
Exemple:

Onde	T	s	h	p	p1	corr
O1	+1	-2	+1			+90°
M2	+2	-2	+2
R2	+2		+1		-1	+180°

R2 = 2T + h - p1 + 180°
Les facteurs de corrections nodales, u_i et f_i , sont des éléments qui varient lentement et qui sont fonction de la longitude du nœ ud ascendant de la lune.
Tous ces coefficients figurent dans la Table 2 du « MANUAL OF HARMONIC ANAL YSIS AND PREDICTION OF TIDES » de Paul Schureman.

Désignation des constantes harmoniques

Les composantes de base (M2, S2, N2, K2, K1, O1, P1, Q1, MF,MM ) sont désignées par un code mnémotechnique: une lettre suivie d'un chiffre

2 pour les composantes semi-diurnes (le coefficient de T est 2)
1 pour les composantes diurnes (le coefficient de T est 1)
2 lettres et pas de chiffre pour les composantes long-terme

Les autres composantes sont formées à partir des composantes de base .
Exemples:
    MNS2 = M2 + N2 - S2
    MSN6 = M2 + S2+ N2

Les règles de formation du code ne sont pas évidentes. Les composantes à partir de la gauche s'additionnent. Les composantes à partir de la droite s'additionnent ou se retranchent. C'est l'indice final qui permet de déterminer si la composante s'ajoute ou se retranche.
Si un chiffre apparaît à gauche d'une lettre, il multiplie cette lettre.
    2MK3 = 2M2 + K1
    2MSN8 = 2M2 + S2 + N2

Pour les composantes combinées, les correction de phase s'additionnent, et les corrections d'amplitude se multiplient entre elles.
Exemple: f(MK3) = f(M2) x f(K1)

Heure de la marée

Lors de la pleine mer la fonction exprimant la hauteur d'eau passe par un maximum. Lors de la basse mer, elle passe par un minimum. Lorsqu'une fonction passe par un maximum ou un minimum, sa fonction dérivée s'annule. Pour trouver l'heure de la pleine mer ou de la basse mer, il faut trouver l'heure où la fonction dérivée s'annule. La dérivée de k cos(ax+b) étant - k a sin(ax+b)

la fonction dérivée de la fonction exprimant la hauteur d'eau est:
h’(t) = Σ_i f_i A_i cos[ ω_i t + (V₀+u )_i – g_i ]
Elle est positive quand la marée monte, négative quand elle descend. Il faut donc trouver les racines de l'équation:

0 = Σ_i f_i A_i cos[ ω_i t + (V₀+u )_i – g_i ]
Parmi les méthodes que l'on peut utiliser pour résoudre cette équation, citons la méthode de Newton-Raphson. Mais on peut aussi, tout simplement, procéder par approches successives. On calcule le signe de la dérivée à l'instant initial t₀ . On calcule le signe de la dérivée à des instants futurs avec un intervalle de 30 minutes par exemple. Quand la dérivée change de signe, cela signifie que la marée a changé de sens. On revient donc en arrière, minute par minute jusqu'à l'instant où le signe de la dérivée revient au signe de départ. C'est l'heure de la marée.

Illustration de la méthode

On trouvera sur ce site le programme de prédiction de la marée w98tide. Ce programme est destiné à illustrer la méthode de calcul de la marée exposée ci-dessus. Il ne saurait en aucun cas remplacer les prédictions publiées par le SHOM dans ses annuaires et qui sont les seules à avoir un caractère officiel.